Вы путаете две вещи - стричь когти и удалять.
Удаление - это операция, проводимая под наркозом, когда кошке удаляют часть "пальца" (фалангу), из которой растет коготь. Эта операция достаточно серьезная, болезненная в плане заживления ран. Если такая кошка попадает на улицу, она является совершенно беспомощной (ни защититься, ни на дерево нормально залезть не может). В США и ряде стран Европы эта операция приравнена к жестокому обращению с животными, за это следует уголовная ответственность.
Стрижка когтей - это отрезание острого или расщепившегося когтя (по сути, это средство притупить коготь). Это аналогично стрижке ногтей у людей - отрезается омертвевшая часть когтя, без нервов и кровеносных сосудов. Делается это, как правило, или для того, чтобы кошка меньше что-то царапала (по выставочному этикету, надо подстричь кошке когти перед выставкой, чтобы, если перенервничает, эксперта не сильно поцарапала), или если отросшие когти мешают самой кошке (н-р, она начинает цепляться ими за ткани - у меня такое периодически бывает). Вот так отрезается:
Кошке это ничуть не больно, но многие возмущаются таким ограничением своей свободы (темпераментную кошку надо держать, чтобы не дернула случайно лапой) и вообще "посягательством на святое", свое оружие. Поэтому может это выглядеть устрашающе, но, как правило, это просто "кошачий спектакль", демонстрация оскорбленных чувств. Дать после этого вкусняшку - и кошка все быстро забывает :)
Но вообще эта манипуляция не обязательна. Если кошка стачивает когти самостоятельно, то подстригать когти ей не требуется. Выставочным кошкам когти регулярно стригут для того, чтобы они привыкли к этой процедуре и спокойно её переносили перед выставкой.