Нет, купать нельзя. Постарайтесь аккуратно почистить перья влажным диском, не нарушая целостность контуров.
Может коробочку надо побольше, чтоб не так пачкался? Из подстилки хорошо сделать валик. Птиц на нём будет сидеть и меньше загрязнять хвостик. И пузико начнёт обрастать.